INTRODUCCION

Este módulo está concebido para ser un curso introductorio al apasionante mundo de la lógica Matemática, ha sido diseñado para ser un curso transversal a todos los programas académicos de pregrado.
La intención es que el estudiante pueda aprender de este módulo por sí mismo, en este sentido es un texto escrito más para los estudiantes que para el profesor.
Este modulo tiene el objetivo de ser una herramienta que permite adquirir habilidades para comprender conceptos como los conectivos lógicos que usamos diariamente en nuestro leguaje y que pocas veces nos detenemos a analizar y comprender, por ejemplo, el amigo “Boole afirma que cuando gane su equipo predilecto hará fiesta”, pasado un tiempo encontramos que Boole está festejando pero que su equipo predilecto ha perdido, ¿Se está contradiciendo el amigo Boole?, en este curso descubriremos y analizaremos el conectivo lógico que ha usado Boole en su afirmación, para concluir sobre este asunto.
Identificar los conectivos lógicos, las premisas y comprender su función en el lenguaje nos permitirá diseñar frases cada vez más complejas sin que se pierda la coherencia en la construcción gramatical.

CONECTIVOS LOGICOS

Al igual que las proposiciones, también descubrirás que los conectivos lógicos, son usados de manera cotidiana en las diferentes construcciones gramaticales, los conectivos nos permiten construir expresiones gramaticales cada vez más complejas uniendo proposiciones simples o atómicas para conformar proposiciones compuestas:

¿Puedes reconocer los conectivos lógicos presentes en las siguientes proposiciones?

"Juan estudia Lógica o ética"

"El Joven Gustavo Dudamel es un excelente director y es suramericano"

"Hay perdón, si y sólo si hay olvido"

"Si considero el placer como fin último de la vida y como único camino hacia la felicidad, entonces soy epicureista"

Todas las proposiciones anteriores son proposiciones compuestas, es decir, están conformadas por una o más proposiciones simples unidas por un conectivo lógico, los conectivos lógicos que identificamos son:

y (Conjunción)

o (Disyunción)

entonces (Condicional)

si y sólo si (Bicondicional)

Estos conectivos lógicos no se encuentran necesariamente de una manera explícita en las expresiones gramaticales, veamos varios ejemplos:

"Si Juan estudia, aprende"

"Cuando Juan estudia, aprende"

Son expresiones equivalentes a:

"Si Juan estudia, entonces aprende"

de esta manera, hay muchas formas de encontrar un conectivo lógico como el condicional sin necesidad de encontrar la palabra entonces conectando las dos proposiciones lógicas.

Una clave para identificar, el conectivo lógico "si y sólo si" es reconocerlo como el equivalente a una condición "necesaria y suficiente para". Por ejemplo, identifiquemos el conectivo lógico en las siguientes proposiciones compuestas:

Declaramos primero las proposiciones simples:

Juan aprende Lógica

Juan estudia Lógica

Proposiciones compuestas:

"La única forma de aprender lógica es estudiar Lógica"

"Sólo estudiando lógica, Juan puede aprender lógica"

Son proposiciones compuestas equivalentes a:

" Juan aprende lógica si y sólo si Juan estudia lógica"

Como ya se dijo en la sección anterior, los símbolos que sirven para enlazar dos o más proposiciones simples, se llaman conectivos lógicos, estos son: la conjunción, la disyunción, la negación, el condicional y el bicondicional.

La conjunción: “ ^ “

Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p y q simbolizada por

“p ^q“, se denomina la conjunción de p y q.

Ejemplos de conjunción:

Ejemplo 1

La proposición compuesta r ^s : 6 es número par y entero positivo, está formada por:

r : 6 es un número par.

^: y

s : entero positivo.

La disyunción “ v “

Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición p o q, simbolizada “p v q” se llama disyunción de p y q.

El operador “o” se puede usar de dos formas: como “o incluyente” o como “o excluyente”.

En el primer caso (“o” incluyente) hace que el valor de verdad de una de las dos proposiciones simples repercuta en el valor verdadero de la proposición disyuntiva; mientras que en la segunda forma (“o” excluyente) el valor de verdad de una proposición excluye la veracidad de la otra proposición, esto hace que la proposición disyuntiva tome el valor verdadero.

Ejemplo 1. Uso del “o” incluyente

r v s: Juan estudia ingeniería o Paola estudia medicina.

r : Juan estudia ingeniería.

v : O

s: Paola estudia medicina.

Ejemplo 2. Uso del “o” excluyente.

x v y : Quieres helado o gaseosa.

x : Quieres helado.

v : O

y: Quieres gaseosa.

La negación:

Sea p una proposición simple. Se define la negación de p mediante la proposición compuesta no p simbolizada por: “~ p”.

Ejemplo 1.

p : 3 es un número entero primo.

~ p : 3 no es un número entero primo, también se puede leer.

Es falso que 3 es un número entero primo.

El condicional

El condicional “® “: Se dice que una proposición compuesta es condicional, si esta formada por dos proposiciones simples enlazadas por la expresión “si…entonces”.

Si p y q representan dos proposiciones, la expresión “si p entonces q” se simboliza así :

p ® q y se lee p implica q.

La proposición precedida por la expresión “si”, se llama antecedente o hipótesis y la proposición precedida por la expresión “entonces”, se llama consecuente o conclusión de la implicación. En la expresión p ® q, el antecedente es p y el consecuente es q.

Las proposiciones condicionales se pueden enunciar de diferentes maneras así:

_ Si p entonces q.

_ p sólo si q.

_ q si p.

_ p es suficiente para q.

_ q es necesaria para p.

El bicondicional

El bicondicional “« “: Se denomina bicondicional a la proposición formada por dos proposiciones simples conectadas por la expresión “sí y sólo sí”.

Simbólicamente si p y q son proposiciones simples, la doble implicación p « q constituye un bicondicional, donde p recibe el nombre de primer miembro y q segundo miembro.

El bicondicional está formado por las implicaciones p ® q y q ® p, las cuales deben tener el mismo valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q; en consecuencia, se dice que la proposición p es equivalente a la proposición q y se acostumbra a escribir p « q.

La proposición bicondicional tiene varias formas de traducción más no de significación, éstas son:

_ p sí y sólo si q.

_ q sí y sólo si p.

_ si p entonces q y recíprocamente.

_ si q entonces q y recíprocamente.

_ p es una condición necesaria y suficiente para q.

_ q es una condición necesaria y suficiente para p.

Ejemplo 1.

Dadas las proposiciones:

p: Un triángulo es rectángulo.

q: Un triángulo tiene un ángulo recto.

El bicondicional p « q se puede traducir de las siguientes formas:

_ Un triángulo es rectángulo sí y sólo sí tiene un ángulo recto.

Tablas de verdad

Definición
Una tabla de verdad es una representación esquemática de las relaciones entre proposiciones; sirve para determinar los valores de verdad de proposiciones compuestas, las cuales dependen de los conectivos utilizados y de los valores de verdad de sus proposiciones simples.
En la elaboración de una tabla de verdad los términos de enlace tales como la negación ( “ ~ “), la disyunción ( “v“) y la conjunción ( “^“) se consideran conectivos fundamentales; por tal razón, sus valores de verdad constituyen base para establecer bajo qué condiciones una proposición compuesta es verdadera o falsa.

Para simbolizar los valores de verdad de una proposición, se utiliza el sistema binario, mediante el cual se le asigna 1 al valor verdadero y 0 al valor falso. La siguiente tabla resume los valores de verdad de los conectivos lógicos:

Construcción de tablas de verdad

Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta es necesario elaborar la correspondiente tabla de verdad; para tal fin y mediante el siguiente ejemplo se enuncian los pasos a seguir:
Ejemplo 1.
Construir la tabla de verdad para la proposición ~ (p^q).
Paso 1.
Se hace un recorrido de izquierda a derecha teniendo en cuenta los paréntesis.
Paso 2.
Se identifica el conectivo que aparece dentro del paréntesis, en este ejemplo la conjunción.
Paso 3.
Se precisa el término de enlace que precede al paréntesis, en el ejemplo la negación.
Paso 4.
Se elabora la tabla con el número de columnas determinado por:
_ Proposiciones que intervienen
_ Conectivos utilizados dentro del paréntesis
_ Conectivo utilizado fuera del paréntesis.
La siguiente tabla ilustra el paso 4:

Paso 5.
Se fijan los valores de verdad en las columnas de las proposiciones p y q. se ilustra en la siguiente tabla

Paso 6.
Se completa la tabla por columnas, teniendo en cuenta el conectivo y el valor de verdad de cada proposición simple. La finalización de la elaboración de la tabla de verdad es: